[AGC034F] RNG and XOR

题解

很有启发性的问题...做了一遍把对 FWT 理解的不彻底的地方都搞清楚了。

倒过来看,计算每个数变成 \(0\) 的期望步数,显然答案是一样的。

首先这个问题可以列 \(2^n\) 元线性方程组去解,但是暴力高斯消元的复杂度太高了。

我们设 \(f_i\) 表示 \(i\) 变成 \(0\) 的期望步数,\(p_i\) 表示随机数生成器生成 \(i\) 的概率。那么可以发现 \(f\) 数组满足方程 \(f = f\cdot p + w x^0 + \sum x^S\)。其中乘法表示集合异或卷积。

移项得到 \((x^0-p)f = w x^0 + \sum x^S\),对两边同时 FWT,得 \((\sum x^S-\hat {p})\hat{f} = w \sum x^S + 2^nx^0\)。显然 \(\hat{p}_{0} = \sum p_S= 1\),从而 \(((w\sum x^S) + 2^n x^0)[x^0] = 0\),这就推出了 \(w = -2^n\)。显然 \(\forall S, \lvert \hat{p}_S \rvert < 1\),从而可以推出 \(\hat{f}_S\) 的值。接下来,只要知道 \(\hat f_0\) 就可以 IFWT 出 \(f\) 了。注意到,\(IFWT(\hat f + kx^0) = f + \frac k {2^n} \sum x^S\),只需随便给 \(\hat f_0\) 设一个值,然后 IFWT 出一个数组 \(f\),对每个 \(i\)\(f_i\) 减去 \(f_0\) 即可。(这里用到了 \(f_0 = 0\) 的条件)

模数写成 \(10^9+7\) 还调了好久...我真的是 zz。

代码

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 18;
const int mod = 998244353;
const int inv = (mod + 1) / 2;

int n, a[1<<maxn], b[1<<maxn];

int qpow(int x, int y) {
int ret = 1;
while (y) {
if (y & 1) ret = 1LL * ret * x % mod;
x = 1LL * x * x % mod;
y >>= 1;
}
return ret;
}

void fwt(int *a, int l, int r) {
if (l == r) return;
int m = (l + r) >> 1, t = (r-l+1) >> 1;
fwt(a, l, m);
fwt(a, m+1, r);
for (int i = l; i <= m; i++) {
int v0 = (a[i] + a[i+t]) % mod, v1 = (a[i] + mod - a[i+t]) % mod;
a[i] = v0; a[i+t] = v1;
}
}

void ifwt(int *a, int l, int r) {
if (l == r) return;
int m = (l + r) >> 1, t = (r-l+1) >> 1;
for (int i = l; i <= m; i++) {
int v0 = 1LL * inv * (a[i] + a[i+t]) % mod, v1 = 1LL * inv * (a[i] + mod - a[i+t]) % mod;
a[i] = v0; a[i+t] = v1;
}
ifwt(a, l, m);
ifwt(a, m+1, r);
}

int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < (1<<n); i++) scanf("%d", &a[i]);
int s = 0;
for (int i = 0; i < (1<<n); i++) s = (s + a[i]) % mod;
for (int i = 0; i < (1<<n); i++) a[i] = 1LL * qpow(s, mod-2) * a[i] % mod;
for (int i = 0; i < (1<<n); i++) a[i] = (mod - a[i]) % mod;
a[0] = (a[0] + 1) % mod;
fwt(a, 0, (1<<n)-1);
for (int i = 1; i < (1<<n); i++) a[i] = 1LL * qpow(a[i], mod-2) * (mod - (1<<n)) % mod;
ifwt(a, 0, (1<<n)-1);
for (int i = 1; i < (1<<n); i++) a[i] = (a[i] + mod - a[0]) % mod;
a[0] = 0;
for (int i = 0; i < (1<<n); i++) printf("%d\n", a[i]);
return 0;
}